Linear vs. angular speed of
circular motion

円運動の線速度と角速度

The speed of a circular motion can be described in terms of the displacement of a point along the arc of the circle. However, it is often more appropriate to describe it in terms of the angle subtended at the center of the circle by its path.

円運動の速度は、運動する点が軌跡として描く弧の長さに基づいて表すこともできるが、その弧に対応する中心角に基づいて表すほうが便利なことが多い。前者を線速度、後者を角速度という。

For example, consider points A and B on a vinyl record disc revolving on a turntable at 33 revolutions per minute. Suppose that A is placed 5 cm and B is placed 10 cm away from the center. In 1 minute, A travels 33 rpm × 2π × 5 cm ≈ 1036.2 cm, while B travels 33 rpm × 2π × 10 cm ≈ 2072.4 cm. In other words, the linear speed is 1036.2 cm/min for A, while it is 2072.4 cm/min for B. This means that points on the disc have different linear speeds depending on their distance from the center. None of them can be considered as representative of the motion of the disc.

例えば、1 分間に33回転する円盤の上に 2つの点 A、B があり、A は中心から5 cm、B は中心から10 cm 離れているとする。1分間に A は 33×2π×5≒ 1036.2 cm、B は 33×2π×10 ≒ 2072.4 cm 動く。すなわち A の線速度は 1036.2 cm/分、B の線速度は 2072.4 cm/分である。このように、中心からの距離が異なれば線速度も異なる。つまり一つの円運動に対していくつもの線速度が存在する。

To describe the rate at which the disc is rotating, it is better to consider its angle of rotation. In 1 full rotation the disc turns through an angle of  2π radians. Hence, in 1 minute it turns through 33 × 2π = 66π radians. Therefore, the angular speed of the disc is 66π÷ 60 = 1.1π rad/s, which is the same for all the points on the disc.

「単位時間あたり何 cm動くか」ではなく「単位時間あたり何ラジアン動くか」を考えるほうが都合がよい。「1 回転する」は「2πラジアン動く」ということなので、33回転/分 は 2π × 33 = 66π ラジアン/分 である。1 秒あたりに換算すると 66π÷ 60 = 1.1π rad/s となる。この角速度は円盤上のどの点でも変わらない。